高考复习：圆锥曲线

数学是高考最重要的科目之一，我们都知道数学的难度大，那么针对数学圆锥曲线的学习，我们应该如何展开冲刺复习呢?针对这个问题，我们学大数学教师，为大家总结出来了高考复习圆锥曲线。

【方法点拨】

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.

2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.

3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.

4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

第1课　椭圆A

【考点导读】

1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;

2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

【基础练习】

1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是

2.椭圆 的离心率为

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(-2 ，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

4. 已知椭圆 的离心率 ，则 的值为

【范例导析】

例1.(1)求经过点 ，且 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P(3,0)在该椭圆上，求椭圆的方程。

【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.

解：(1)∵椭圆焦点在 轴上，故设椭圆的标准方程为 ( )，

由椭圆的定义知，

，

∴ ，又∵ ，∴ ，

所以，椭圆的标准方程为 。

(2)方法一：①若焦点在x轴上，设方程为 ，

∵点P(3,0)在该椭圆上∴ 即 又 ，∴ ∴椭圆的方程为 .

②若焦点在y轴上，设方程为 ，

∵点P(3,0)在该椭圆上∴ 即 又 ，∴ ∴椭圆的方程为

方法二：设椭圆方程为 .∵点P(3,0)在该椭圆上∴9A=1，即 ,又 ∴ ， ∴椭圆的方程为 或 .

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为 ，若焦点在y轴上，设方程为 ，有时为了运算方便，也可设为 ，其中

.

例2.点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， 。

(1)求点P的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离 的最小值。

【分析】①列方程组求得P坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.

解：(1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)

设点P( , ),则 =( +6, ), =( -4, ),由已知可得

则2 +9 -18=0, = 或 =-6.

由于 >0,只能 = ,于是 = . ∴点P的坐标是( , )

(2) 直线AP的方程是 - +6=0. 设点M( ,0),则M到直线AP的距离是 .

于是 = ,又-6≤ ≤6,解得 =2. 椭圆上的点( , )到点M的距离 有

,

由于-6≤ ≤6, ∴当 = 时,d取得最小值

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】

1.如果 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(0，1)

2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

3.椭圆 =1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍

4.若椭圆 的离心率 ,则 的值为

5..椭圆 的右焦点到直线 的距离为

6.与椭圆 具有相同的离心率且过点(2，- )的椭圆的标准方程是 或

7.椭圆 上的点到直线 的最大距离是

8. 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.

分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出 和 (或 和 )的值.从而求得椭圆方程.

解：设两焦点为 、 ，且 ， .

从椭圆定义知 .即 .

从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，

可求出 ， ，从而 .

∴所求椭圆方程为 或 .

第2课　椭圆B

【考点导读】

1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;

2. 能解决椭圆有关的综合性问题.

【基础练习】

1.曲线 与曲线 的(D)

A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等

2.如果椭圆 上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是

3 离心率 ，一条准线为 的椭圆的标准方程是

【范例导析】

例1.椭圆 (a>b>0)的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且 。

求离心率e的取值范围.

分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.

解：设点M的坐标为(x，y)，则 ， 。由 ，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①

又由点M在椭圆上，得y2=b2 ，代入①，得x2-c2 ，即 。

∵0≤ ≤ ，∴0≤ ≤ ，即0≤ ≤1，0≤ ≤1，解得 ≤ ≤1。

又∵0< <1，∵ ≤ ≤1.

例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(-4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程;

(2)求弦AC中点的横坐标.

分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程;第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.

解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b= =3.

故椭圆方程为 =1.

(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为x= ,离心率为 ，根据椭圆定义，有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2)，

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出：x1+x2=8.

设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0= =4.

针对高考复习圆锥曲线的学习，在上面文章中我们学大教育专家为大家整理圆锥曲线的基础知识点，和课后练习题。希望你及时利用我们的试题，巩固圆锥曲线知识点。