数学学习应做到多样解题
来源:学大教育 时间:2014-03-09 15:38:48
数学的学习,在我们大家的所有学科中,可以说是十分重要的一门课程,学好数学,对于我们大家的物理、化学的学习都会有很大的帮助。在我们数学解题的过程中,我们应做到数学学习应做到多样解题,这样我们大家的数学学习能力才能够更好的提高。
数学考试的第四个学科特点是解法多样。教育部考试中心在解读全国高考数学考试大纲的说明中指出“一般数学试题的结果虽确定唯一,但解法却多种多样,有利于考生发挥各自的特点,灵活解答,真正显现其水平。”
在各套试卷的各题型中,都有不少试题能够一题多解。
【例1】(2007年天津卷,理10) 设两个向量-=(+2,2-cos2)和-=(m,-+sin),其中,m,为实数。若-=2-,则-的取值范围是( )。
(A)[-6,1] (B)[4,8]
(C)[-∞,1] (D)[-1,6]
【解】本题给出两个共线向量和三个参数,m,,需要确定-的取值范围,这种题目也不太常见,因为是选择题,我们可以从不同的角度用不同的方法来解决。
解法1:可以根据选项提供的数据,用逆向化策略和特殊化策略,通过选取特殊值进行排除。 -
设-=4,则4m+2=2m,m=-1, =-4。由第二个等式得16-cos2=-1+2sin,即17=cos2+2sin这是不可能的,因而排除(B),(D)。
再设-=-8,则-8m+2=2m,m=-,=--,由第二个等式--cos2=-+2sin,即-=cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2
这同样是不可能的。因而排除(C)。故选A。
解法2:如果-是一个整体,则可以对和m分别求出取值范围,再进行整合。 由解法1,有
-
消去得4m2-9m+4=cos2+2sin,
由于-2≤cos2+2sin=
-(sin-1)2+2≤2,
则有-2≤4m2-9m+4≤2,解得-≤m≤2(m≠0)。
由=2m-2得--≤≤2,进而可求得-6≤-≤1,故选A。
以上两个解法运用了特殊与一般的数学思想(解法1), 函数与方程思想和分解与组合的思维方法(解法2)。
【例2】(2007年全国Ⅰ卷,理22)已知数列{an}中a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,…
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn+1=-,n=1,2,3…,
证明:-
【解】(Ⅰ)an的通项公式为an=-[(--1)n+1],n=1,2,3…。
解:用数学归纳法证明。
(ⅰ)当n=1时,因-<2,b1=a1=2,所以-
(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即-
当n=k+1时,
bk+1--=---
=-
=->0
又 -<-=3-2-
所以bk-1--
=-
<(3-2-)2(bk--)
≤(--1)4(a4k-3--)
=a4k+1--。
也就是说,当n=k+1时,结论成立。
根据(ⅰ)和(ⅱ)知-
【例3】(2007年辽宁卷,理22)已知函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=-f'(x)。
(I)证明:当t<2-时,g(x)在R上是增函数;
(II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,t>k 时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(III)证明:f(x)≥-。
【解】(I)f'(x)=2e2x-2t(ex+1)+2x,
g(x)=-f'(x)=e2x-t(ex+1)+x,
g'(x)=2e2x-tex+1=2(ex--)2+1--,
因为t<2-,则1-->0,所以,g'(x)>0,
所以,当t<2-时,g(x)在R上是增函数。
数学学习应做到多样解题,只有做到多样解题,我们大家在遇到数学解题的时候,才能够更好的去思考,去解题,提高大家的数学解题效率,让我们大家的数学学习能够更加的轻松与高效,轻松考出好的数学成绩。
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