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2018期中考

对数函数及其性质

来源:学大教育     时间:2014-05-23 09:45:21


对数函数在我们的数学学习中也是很常见的一种函数类型,也是很重要的一个知识点,所以学好对数函数是我们高中时候的必修课。那么怎么样才能够学好对数函数呢,下面是我们学大教育编辑的对数函数及其性质,希望可以帮助到同学们。

对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2) 对数函数的值域为全部实数集合。

(3) 函数图像总是通过(1,0)点。

(4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。

(5) 显然对数函数无界。

对数函数的常用简略表达方式:

(1)log(a)(b)=log(a)(b) (a为底数)

(2)lg(b)=log(10)(b) (10为底数)

(3)ln(b)=log(e)(b) (e为底数)

对数函数的运算性质:

如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么:

(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n属于R)

(4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)

(5) a^log(a)(N)=N

对数与指数之间的关系

当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x

log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)

换底公式 (很重要)

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga

ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)

lg 常用对数 以10为底

定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} 。

{2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域:实数集R

定点:函数图像恒过定点(1,0)。

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸

对数的图像0

奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。

周期性:不是周期函数

零点:x=1

注意:负数和0没有对数。

两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

也就是说:若y=log(a)b (其中a>0,a≠1,b>0)

当00;

当a>1, b>1时,y=log(a)b>0;

当01时,y=log(a)b<0;

当a>1, 0

指数函数的求导:

e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地,当a=e时,(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1,0)这点。[1]

(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 对数函数化简问题

底数则要>0且≠1 真数>0

并且,在比较两个函数值时:

如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

如果底数一样,真数越大,函数值越小。(0

对数的运算性质

当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)

(6)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)

设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)

log(a)a^b=b 证明:设a^log(a)N=X,log(a)N=log(a)X,N=X

(9)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

对数与指数之间的关系

对数函数与指数函数互为反函数

当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N

关于x=y对称

以上就是对数函数及其性质的全部内容了,希望同学们能够彻底理解这些知识点,并运用这些知识点多做一些练习题,就一定能够学好对数函数,其实其他知识何尝不是这样的呢。

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